System liczbowy to symboliczna metoda zapisu liczb, zbiór zasad i praw, które są używane do oznaczania dowolnej liczby integralnej. Obecnie istnieją 2 podstawowe pojęcia liczbowe - niepozycyjne i pozycyjne, te ostatnie obejmują również układy jednorodne i mieszane.
Mechanizm niepozycyjny jest tak prosty, jak to możliwe, ponieważ ta metoda prowadzenia rachunku jest najstarsza. Każda pojedyncza cyfra liczby reprezentuje wartość, która nie zależy od pozycji danej cyfry). 20 Pałeczek równa się liczbie 20, każda kreska odpowiada 1 przedmiotowi. Współczesnym przykładem tej metody są cyfry rzymskie, Alfabetyczne oznaczenia cyfrowe - na przykład greckie, słowiańskie.
Rachunek pozycyjny jest dość klarowny i jasny. Pewna cyfra liczby ma wartość, która zależy od jej położenia. Znany nam system dziesiętny oferuje następującą wartość cyfrową liczby 863: 8 oznacza liczbę setek - 800, 6 – dziesiątki, 3 - jednostki. Podstawą tej metody liczbowej jest liczba znaków, symboli używanych do przedstawienia liczb.
Jednorodna koncepcja prowadzenia rachunku wykorzystuje liczby jednego zbioru. Każdy zbiór używa tylko jednego oznaczenia cyfrowego: 0-9. Na przykład: liczba 863 (1 zbiór – 3, 2 zbiór – 6, 3 zbiór - 8).
Układ mieszany (niejednorodny) jest uogólnieniem skończonej liniowej kombinacji potęg liczby. Każda pojedyncza cyfra (pozycja) charakteryzuje się odmiennym zestawem znaków. Na przykład - linia czasu (60 sekund = 1 minuta, 60 minut = 1 godzina, 24 godziny = 1 doba).
Historia systemów liczbowych: pojawienie się i opis
We współczesnym świecie istnieje wiele sposobów reprezentowania liczb. Liczba może być reprezentowana przez grupę znaków alfabetu. Najprostszym systemem liczbowym jest jedynkowy, który wykorzystuje tylko 1 znak (różdżka, węzeł, nacięcie, kamyk). Najdoskonalszą zasadą reprezentacji liczb jest liczba pozycyjna, zgodnie z którą ten sam znak liczbowy (cyfra) ma różne znaczenia w zależności od miejsca, w którym się znajduje.
Pomimo pozornej naturalności takiego systemu, był on wynikiem długiego rozwoju historycznego. Pojawienie się systemu liczb dziesiętnych wiąże się z liczbą na palcach. Prymitywne ludy nie miały rozwiniętego systemu liczbowego. W XIX wieku wiele plemion Australii i Polinezji miało tylko dwie liczby: 1 i 2; wszystkie liczby, więcej niż 6, były opisywane jako „dużo” bez ich indywidualizacji. Wraz z rozwojem życia społeczno-gospodarczego pojawiła się potrzeba stworzenia systemów liczbowych, które umożliwiłyby oznaczanie coraz większych zbiorów przedmiotów. Jednym z najstarszych systemów liczbowych jest egipska numeracja hieroglificzna, która powstała w ciągu 2500-3000 lat p. n. e. Był to dziesiętny niepozycyjny system liczbowy, w którym tylko zasada dodawania była stosowana do zapisywania liczb (liczby wyrażone obok stojących cyfr są sumowane).
Nowoczesny dziesiętny system liczb pozycyjnych powstał na podstawie numeracji, która powstała nie później niż 5 wieku w Indiach. Wcześniej w Indiach istniały systemy liczbowe, w których stosowano nie tylko zasadę dodawania, ale także zasadę mnożenia (jednostka pewnej cyfry jest mnożona przez liczbę stojącą po lewej stronie). Podobnie stworzono stary chiński system liczbowy i kilka innych. Dziesiętny system pozycyjny daje podstawową możliwość zapisywania dowolnie dużych liczb. Zapis liczb w nim jest kompaktowy i wygodny do wykonywania operacji arytmetycznych. Dlatego wkrótce po pojawieniu się dziesiętny system liczb pozycyjnych zaczął rozprzestrzeniać się z Indii na zachód i wschód.
W 9 wieku pojawiły się rękopisy w języku arabskim, które określały ten system liczbowy, w 10 wieku dziesiętna numeracja pozycyjna dotarła do Hiszpanii, na początku 12 wieku pojawiła się w innych krajach Europy. Nowy system liczbowy został nazwany arabskim, ponieważ w Europie został po raz pierwszy zapoznany z łacińskimi tłumaczeniami z arabskiego. Dopiero w XVI wieku nowa numeracja stała się powszechna w nauce i życiu codziennym. Wraz z wprowadzeniem ułamków dziesiętnych dziesiętny system liczb pozycyjnych stał się uniwersalnym sposobem zapisywania wszystkich liczb rzeczywistych.
Pozycyjna i mieszana systemy liczbowe i ich rodzaje
Mieszana koncepcja liczbowa wyróżnia się następującymi cechami: zapis dowolnej liczby P występuje z taką samą liczbą cyfr Q, które są wystarczające do odzwierciedlenia dowolnej liczby bazowej układu P. Typowymi przykładami rosnącej sekwencji liczbowej, reprezentujących liczbę X jako liniową kombinację systemu są:
· Fibonacci - sekwencja rozpoczyna się od 0, 1; każdy następny element jest sumą 2 poprzednich. Trzeci składnik sekwencji wynosi 1 (1=1+0), czwarty – 2 (2=1+1), piąty– 3 3 (3=2+1) i tak dalej;
· Silnia – wyprowadzany z silni liczby naturalnej;
· Rozkład dwumianowy - sekwencja stosująca współczynniki dwumianowe.
Pozycyjna technika numeryczna obejmuje następujące działy:
Binarny system liczbowy – jest językiem informatyki. Wykorzystuje tylko 2 cyfry - 0 i 1. Dwójka stanowi podstawę metody. Zasada kodowania informacji za pomocą znaków 0 i 1 - kod binarny. Rozładowanie osiąga swój limit - pojawia się nowe rozładowanie, a stare jest natychmiast zerowane. Symbol 10 oznacza dwa, 11 - trzy, 100 - cztery, 101 - pięć. Zapis binarny liczby można przetłumaczyć na dziesiętny i odwrotnie.
Najczęstszy jest dziesiętny system liczbowy. Ta metoda działa w liczbach od 0 do 9. Liczba osiąga 9 -wprowadzana jest nowa cyfra (dziesiątki), jednostki są zerowane, odliczanie zaczyna się od nowa. Dalej są setki, tysiące, dziesiątki tysięcy, setki tysięcy, miliony, miliardy. Dowolną liczbę można przedstawić jako sumę jednostek, dziesiątek, setek itp.
Ósemkowy schemat liczbowy to typowy system programistów. Ta metoda ma do dyspozycji 8 cyfr – od 0 do 7. Każdy znak cyfrowy odpowiada zestawowi 3 znaków systemu binarnego. Na przykład: 000 – 0, 001 – 1, 010 – 2, 011 – 3.
Koncepcja szesnastkowa - szeroko stosowana w programowaniu. Operuje cyfrowymi znakami od 0 do 9, pierwszymi sześcioma literami łacińskimi - A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Interpunkcja binarna po przetłumaczeniu na szesnastkową dzieli się na 4 cyfry od końca.
Konwersja między systemami liczbowymi. Sposoby i osobliwości
Transformacje numeryczne są nieodzownym aspektem pracy urządzeń stosujących arytmetykę maszynową. Ważne jest, aby znać zasady wykonywania takich zadań. Różne techniki konwersji numerycznych są określane zgodnie z rodzajami liczb. Operacje są przeprowadzane z trzema rodzajami liczb - całkowitymi, ujemnymi, ułamkowymi. Konieczność konwersji liczby między systemami liczbowymi rodzi pierwszą zasadę: najpierw należy przekształcić znak liczbowy w system dziesiętny. Obliczenia można wykonywać ręcznie, samodzielnie malując sekwencje lub za pomocą uniwersalnego kalkulatora elektronicznego.
Zasady konwersji liczb całkowitych
Istnieje kilka metod konwersji numerycznej. Konwersja z systemu dziesiętnego na binarny jest proste.
Opcja nr 1.
Dzielimy liczbę przez podstawę wymaganego systemu liczbowego (w tym przypadku 2), aż wreszcie pojawi się liczba mniejsza od podstawy pożądanej koncepcji liczbowej. Weźmiemy do przykładu numer 984.
|
Część całkowita z podziału |
Reszta z podziału |
|
984 : 2 = 492 |
984 mod 2 = 0 |
|
492 : 2 = 246 |
492 mod 2 = 0 |
|
246 : 2 = 123 |
246 mod 2 = 0 |
|
123 : 2 = 61 |
123 mod 2 = 1 |
|
61 : 2 = 30 |
61 mod 2 = 1 |
|
30 : 2 = 15 |
30 mod 2 = 0 |
|
15 : 2 = 7 |
15 mod 2 = 1 |
|
7 : 2 = 3 |
7 mod 2 = 1 |
|
3 : 2 = 1 |
Mod 2 = 1 |
|
1 : 2 = 0 |
1 mod 2 = 1 |
Należy zapisać otrzymaną resztę w odwrotnej kolejności. Otrzymujemy 98410 = 11110110002.
Opcja nr 2.
1. Znajdujemy najbliższy wynik do 984 potęgi liczby 2, która nie przekracza 984: 29=512.
2. Obliczamy 512 z 984: 984-512= 472.
Należy powtarzać te działania, aż pozostanie 1 lub 0.
W rezultacie otrzymujemy sekwencję: 512+256+128+64+16+6+2=29 +28 +27 +26 +23 +21. Dalej zgodnie ze wskaźnikami umieszczamy jednostki według zbioru. W pozostałych pozycjach wpisz zera.
Spróbujmy przetłumaczyć na system binarny liczbę 98416. Korzystamy z tabel zgodności systemów liczbowych:
9=1001, 8=1000, 4=0100. W ten sposób otrzymujemy 98416 =1001100001002.
Przykład transformacji ze schematu ósemkowego na dziesiętny
Weź znak numeryczny 438. Aby przetłumaczyć, należy pomnożyć liczbę cyfr przez odpowiedni stopień rozładowania.
438 = 81*4 + 80*3 = 32 + 3 = 35
Osobliwości konwersji liczb ujemnych
Ten typ transformacji numerycznej wymaga etapowego algorytmu działań. Wprowadza się pojęcie odwrotnej metody kodu, co umożliwia odjęcie jednej liczby od drugiej poprzez dodanie (dla ujemnego znaku liczbowego kod obliczamy od liczby integralnej, inwertując bity: 0 – 1, 1 – 0); kod uzupełniający jest najpopularniejszym sposobem, który pozwala zrównoważyć procedury dodawania i odejmowania dla symboli i znaków. Możliwość konwersji dziesiętnych znaków liczbowych wynosi odmianę: -128 - +127. Kod pozwala również na wykonywanie działań arytmetycznych z liczbami ujemnymi.
Rozważmy przykład uzyskania znaku binarnego z liczby -92. Najpierw określ ostateczny rozmiar przyszłego znaku numerycznego. Na przykład 1 bajt. Następnie należy przeprowadzić konwersję 92 na binarną koncepcję numeryczną.
92=1011100
Bierzemy pod uwagę ośmiocyfrowy rozmiar bajtu, więc dodajemy 0 do sekwencji: 01011100. Przekształcamy wynik w kod odwrotny: zamieniamy zera na jedynki i odwrotnie: 10100011. Wyprowadzamy dodatkowy kod, dopisując jedynkę: 10100100.
Przykłady konwersji liczb ułamkowych
Klasyfikacja ułamków obejmuje typy zwykłe i dziesiętne.
Pierwsze obejmują liczby składające się z jednej lub kilku równych części jednostki. Transformacja międzysystemowa tego rodzaju ułamków jest niezwykle prosta: osobno konwersujemy licznik i mianownik, a następnie tworzymy ich relację. Liczby dziesiętne konwersujemy w następujący sposób:
1. Koncentrujemy się na podstawie niezbędnej koncepcji liczbowej.
2. Pożądaną liczbę ułamkową pomnożymy naprzemiennie przez podstawę nowego systemu, aż otrzymana część ułamkowa stanie się równa zero.
3. Zbieramy otrzymane części całkowite, a następnie układamy je zgodnie z cyframi wybranego systemu liczbowego.
4. Część całkowita znajduje się w pozycji pierwszej po przecinku cyfry.
Na przykład musisz przetłumaczyć liczbę 0,12396 na system binarny.
|
0, |
12396 |
|
*2 |
|
|
0, |
24792 |
|
*2 |
|
|
0, |
49584 |
|
*2 |
|
|
0, |
99168 |
|
*2 |
|
|
1, |
98336 |
Otrzymujemy wynik w dwójkowym systemie liczbowym: 0001
0.12396 = 0.00012
Konwersja znaku binarnego na dziesiętny ma następujący algorytm:
Musisz przekonwertować oznaczenie numeryczne 10010.1012.
100102 = 24*1 + 23*0 + 22*0 + 21*1 + 20*0 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18 (część całkowitą mnożymy przez odpowiedni stopień rozładowania)
1012 = 2-1*1 + 2-2*0 + 2-3*1 = 0.625 (część ułamkową dzielimy przez odpowiedni stopień rozładowania).
Dodaj obie wartości: 10010.1012 =18, 625.
Do zobaczenia
Ruslan Garanin korepetytor na https://buki.org.pl/
Dziękuje za korzystną informaję
OdpowiedzUsuń